5.7.2 线性方程和求逆

求解线性方程组是矩阵乘法的逆运算。当下面的命令运行后，

> b <- A %*% x

如果仅仅给出 A 和 b，那么 x 就是该线性方程组的根。在 R 里面，用命令

> solve(A,b)

求解线性方程组，并且返回 x (可能会有一些精度丢失)。注意，在线性代数里面该值表示为 x = A^{−1} %*% b​ ，其中 A^{−1} 表示 A 的逆(inverse)。矩阵的逆可以用下面的命令计算，

solve(A)

不过一般很少用到。在数学上，用直接求逆的办法解 x <- solve(A) %*% b 相比 solve(A,b) 不仅低效而且还有一种潜在的不稳定性。

用于多元计算的二次型 x %*% A^{-1} %*% x 可以通过¹像 x %*% solve(A,x) 的方式计算得到， 而不是直接计算 A 的逆。

¹:最好的方式当然是用A = BB′求解矩阵平方根B和利用A的Cholesky或特征值分解的办法得到By = x的解的自乘长度(squared length)。译者注:这里我还没有完全弄明白，可以参见原文注 解“Even better would be to form a matrix square root B with A = BB′ and find the squared length of the solution of By = x, perhaps using the Cholesky or eigendecomposition of A.”。